如何証明1+1=2?[轉貼自香港知識+]
數學歸納法原理:
現在，就讓我們通過一個例子來說明數學歸納法這種方法。我們將證明命題
“ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) ” 對所有正整數 n 都成立。
若要證明命題對所有正整數 n 都成立，我們必須證明以下所有等式都是正確的。
當 n = 1 時，1= (1)(1 + 1)
當 n = 2 時，1 + 2= (2)(2 + 1)
當 n = 3 時，1 + 2 + 3= (3)(3 + 1)
當 n = 4 時，1 + 2 + 3 + 4 = (4)(4 + 1)
...
...
...
當 n = 100 時，1 + 2 + 3 + 4 + … + 100= (100)(100 + 1)
...
...
... 。
然而，正整數有無窮多，我們不可能一一檢驗所有等式的正確性。
為了簡化我們的表達方式，設P(n) 為命題
“ 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) ”
也就是說，我們需要證明 P(1)，P(2)，P(3),…,P(1000),….，全都成立。
(1)歸納基礎：證明P(1)成立。
(2)歸納假設：證明若P(k) 成立，則P(k + 1) 亦必成立，其中k為正整數。
一旦完成了這兩步，我們就可以說，根據數學歸納法，對所有正整數 n 來說，命題P(n) 成立。
l根據第一個條件，P(1) 成立。
l根據第二個條件，由於已知P(1) 成立，所以可以推出P(2) 成立。
l繼續按照第二個條件，因為已知P(2) 成立，故而可斷定P(3) 成立。
l反覆應用第二個條件，於是可斷定P(n)，對所有正整數 n 都成立。
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參考資料:
www.ccpass.edu.hk/~tc05/AMch03.doc 
